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唯一路径问题
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（如下图中的 'Start'）。
机器人在任何时间点只能向下或向右移动。机器人正试图到达网格的右下角（如下图中的 'Finish'）。
有多少种可能的唯一路径？
示例
示例 #1
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，有三种不同的方式到达右下角：
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 #2
输入：m = 7, n = 3
输出：28
算法
回溯
首先想到的可能是我们需要构建一个决策树，其中 D 表示向下移动，R 表示向右移动。例如在猪猡的情况中 width = 3 和 height = 2 我们将会有以下决策树：
START
/ \
D R
/ / \
R D R
/ / \
R R D
END END END
我们可以看到这里有三个唯一的分支，这就是我们的问题的答案。
时间复杂度：O(2 ^ n) - 大致在最坏情况下，对于大小为 n 的正方形网格。
辅助空间复杂度：O(m + n) - 因为我们需要存储当前路径及其位置。
动态规划
让我们将 BOARD[i][j] 视为我们的子问题。
由于我们只能向右或向下移动，我们可以说到达当前单元格的唯一路径数量是上方单元格和左侧单元格的唯一路径数量的和。
BOARD[i][j] = BOARD[i - 1][j] + BOARD[i][j - 1]; // 由于我们只能向下或向右移动。
基础情况是：
BOARD[0][any] = 1; // 只有一种方法到达任何顶部的插槽。
BOARD[any][0] = 1; // 只有一种方法到达最左边一列的任何插槽。
对于 3 x 2 的棋盘，我们的动态规划矩阵将如下所示：
每个单元格包含到达它的唯一路径数量。我们需要底部右侧的单元格，其数量为 3。
时间复杂度：O(m * n) - 因为我们正在遍历 DP 矩阵的每个单元格。
辅助空间复杂度：O(m * n) - 因为我们需要具有 DP 矩阵。
帕斯卡三角形式
这个问题实际上是帕斯卡三角形的另一种形式。
这个矩形的角落位于 m + n - 2 行，以及帕斯卡三角形的 min(m, n) - 1 位置。
参考资料