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刘徽在他的《九章算术》注释中提到，内接六边形的周长与圆的直径之比是“三”，因此π必须大于三。他继续提供了一个详细的迭代算法描述，该算法基于分割多边形来计算π到任何所需的精度；他用96边形计算出π在3.141024和3.142708之间；他认为3.14是一个足够好的近似值，并将π表示为157/50；他承认这个数字有点小。后来他发明了一种巧妙的方法来改进它，并用96边形得到了π约等于3.1416，其精度可以与1536边形相媲美。他在这一领域最重要的贡献是他简单的迭代π算法。
圆的面积
刘徽论证说：
将六边形的一边乘以圆的半径（其外接圆），然后将其乘以三，得到十二边形的面积；如果我们将六边形切成十二边形，将其一边乘以其半径，然后再乘以六，我们得到24边形的面积；我们切得越细，与圆面积的损失就越小，因此通过进一步的切割，所得多边形的面积将与圆重合并成为一体；不会有损失。
刘徽计算圆面积的方法。
此外，刘徽证明了圆的面积是其周长的一半乘以其半径。他说：
在多边形和圆之间，存在过剩半径。将过剩半径乘以多边形的一边。得到的面积超过圆的边界
在图中 d = 过剩半径。将 d 乘以一边得到长方形 ABCD，它超过了圆的边界。如果多边形的一边很小（即有非常多边的情况下），那么过剩半径就会很小，因此过剩面积也会很小。
将多边形的一边乘以其半径，面积翻倍；因此将半周长乘以半径得到圆的面积。
圆内的面积等于半径乘以半周长，或者 A = r x C/2 = r x r x π。
迭代算法
刘徽从一个内接六边形开始。设 M 是六边形一边 AB 的长度，r 是圆的半径。
用线 OPC 对 AB 进行二分，AC 成为十二边形（12-gon）的一边，设其长度为 m。设 PC 的长度为 j，OP 的长度为 G。
AOP，APC 是两个直角三角形。刘徽反复使用勾股定理（勾股定理）：
从这里，现在有一种技术可以从 M 确定 m，这给出了一个具有两倍边数的多边形的边长。从六边形开始，刘徽可以使用这个公式确定十二边形的边长。然后继续重复以确定给定十二边形边长的24边形的边长。他可以像需要那样递归地进行多次。知道如何确定这些多边形的面积，刘徽然后可以近似π。
参考文献