复数
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复数是可以表示为形式 a + b * i 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是满足方程 x^2 = −1 的解。因为没有实数能满足这个方程，所以 i 被称为 虚数。对于复数 a + b * i，a 被称为 实部，b 被称为 虚部。
复数是实数和虚数的组合：
几何上，复数通过使用横轴表示实部，纵轴表示虚部，将一维数线扩展到二维复平面。复数 a + b * i 可以在复平面上与点 (a, b) 对应。
如果一个复数的实部为零，则称该复数为 纯虚数；这些数的点位于复平面的纵轴上。如果一个复数的虚部为零，则可以将其视为 实数；其点位于复平面的横轴上。
| 复数 | 实部 | 虚部 | |
|---|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 | |
| 5 | 5 | 0 | 纯虚数 |
| −6i | 0 | -6 | 纯虚数 |
复数可以视觉表示为一组数 (a, b) 形成的向量，称为 Argand 图，代表 复平面。Re 是实轴，Im 是虚轴，i 满足 i^2 = −1。
复数并不意味着复杂。它意味着实数和虚数这两种类型，共同构成了一个复杂的概念，就像建筑群（多个建筑连接在一起）一样。
极坐标形式
定义复平面上的点 P 的另一种方法，除了使用 x 和 y 坐标外，还可以使用点 P 与原点 O（坐标为 (0, 0)）之间的距离，以及正实轴与线段 OP 之间所夹的角度，按逆时针方向计算。这个想法导致了复数的极坐标形式。
复数 z = x + yi 的 模（或模长或大小）是：
z 的辐角（在许多应用中被称为“相位”）是半径 OP 与正实轴之间的角度，并写为 arg(z)。与模长一样，可以通过矩形形式 x+yi 找到辐角：
一起，r 和 φ 提供了另一种表示复数的方法，即极坐标形式，模长和辐角共同完全指定了平面上点的位置。从极坐标形式恢复原始的矩形坐标是通过称为三角形式的公式完成的：
使用欧拉公式，这可以写为：
基本运算
加法
要相加两个复数，我们分别对每个部分进行加法操作：
(a + b * i) + (c + d * i) = (a + c) + (b + d) * i
示例
(3 + 5i) + (4 − 3i) = (3 + 4) + (5 − 3)i = 7 + 2i
在复平面上，加法操作将如下所示：
减法
要减去两个复数，我们分别对每个部分进行减法操作：
(a + b * i) - (c + d * i) = (a - c) + (b - d) * i
示例
(3 + 5i) - (4 − 3i) = (3 - 4) + (5 + 3)i = -1 + 8i
乘法
要乘复数，第一个复数的每一部分都要乘以第二个复数的每一部分：
只需使用 "FOIL"，即 "首项"（Firsts）、"外项"（Outers）、"内项"（Inners）、"末项"（Lasts）（更多细节请参见 二项式乘法）：
- 首项：
a × c - 外项：
a × di - 内项：
bi × c - 末项：
bi × di
通常看起来是这样的：
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
但也有更快的方法！
使用这个规则：
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
示例
(3 + 2i)(1 + 7i)
= 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i
= 3 + 21i + 2i + 14i^2
= 3 + 21i + 2i − 14 (因为 i^2 = −1)
= −11 + 23i
(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i
共轭
我们一会儿就会知道共轭的概念了！
共轭就是像这样改变中间符号的：
共轭通常用一条横线在其上方写出：
______
5 − 3i = 5 + 3i
在复平面上，共轭数的点将会镜像对称于实轴。
除法
共轭用于帮助复数除法。
技巧是将 底部的共轭 乘以顶部和底部。
示例
2 + 3i
------
4 − 5i
将顶部和底部都乘以 4 − 5i 的共轭：
以下是您提供的文档的翻译结果：
(2 + 3i) * (4 + 5i) 8 + 10i + 12i + 15i^2
= ------------------- = ----------------------
(4 − 5i) * (4 + 5i) 16 + 20i − 20i − 25i^2
请记住 i^2 = -1，所以：
8 + 10i + 12i − 15 −7 + 22i −7 22
= ------------------- = -------- = -- + -- * i
16 + 20i − 20i + 25 41 41 41
不过有更快的方法。
在前面的例子中，底部发生的事情很有趣：
(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i
中间的项 (20i − 20i) 可以抵消！另外 i^2 = -1，所以我们最终得到这个：
(4 − 5i)(4 + 5i) = 4^2 + 5^2
这是一个相当简单的结果。一般规则是：
(a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2