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帕斯卡三角
在数学中，帕斯卡三角是一个三角形数组的二项式系数。
帕斯卡三角的每一行按照惯例从上到下编号，以 n = 0 行作为顶部（即第 0 行）。每一行的条目通常相对于相邻行的数字交错排列。三角形的构建方法如下：在第 0 行（最顶部一行）中，有一个唯一的非零条目 1。每个后续行的条目都是通过将上面和左边的数字与上面和右边的数字相加来构建的，空白条目被视为 0。例如，在第一行（或任何其他行）中的初始数字是 1（0 和 1 的和），而在第三行中的数字 1 和 3 是通过相加产生第四行的数字 4 的。
公式
帕斯卡三角的第 n 行和第 k 列的条目用 
表示。例如，最顶部行中唯一的非零条目是 
。
有了这个表示法，前一段的描述可以写成如下形式：
对于任何非负整数 n 和任何在 0 到 n 之间的整数 k，包括 0 和 n。
在 O(n) 时间内计算三角条目
我们知道第 lineNumber 行的第 i 个条目是二项式系数 C(lineNumber, i)，所有行的第一条都是 1。思路是用 C(lineNumber, i-1) 来计算 C(lineNumber, i)。可以使用以下公式在 O(1) 时间内计算：
C(lineNumber, i) = lineNumber!
C(lineNumber, i - 1) = lineNumber!
我们可以从上述两个表达式中推导出以下表达式：
C(lineNumber, i) = C(lineNumber, i - 1) * (lineNumber - i + 1) / i
因此，可以从 C(lineNumber, i - 1) 在 O(1) 时间内计算出 C(lineNumber, i)。
参考文献